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Una geometria non euclidea è una geometria costruita negando o non accettando alcuni postulati euclidei. Viene detta anche metageometria

Il quinto postulato di Euclide o "delle parallele" è quello che nel corso dei secoli ha suscitato il maggior interesse. La caratteristica che contraddistingue i postulati e gli assiomi della geometria di Euclide, secondo le idee del tempo, è l'essere asserzioni la cui verità è garantita dall'evidenza (l'opera di Euclide è stata riorganizzata in senso moderno da Hilbert, che l'ha spogliata, ad esempio, del carattere osservativo da cui partiva la giustificazione nell'uso dei postulati e degli assiomi euclidei). Secondo Euclide, l'evidenza è una caratteristica dei primi quattro postulati degli Elementi: basta infatti usare riga e compasso; inoltre essi restano validi se ci si limita a una porzione finita di piano.

Sempre nell'ottica euclidea, il postulato delle parallele non è "evidentemente vero", infatti non rimanda ad alcuna costruzione geometrica che possa limitarsi sempre a una porzione finita di piano. Pare che lo stesso Euclide non fosse convinto dell'evidenza[2] del postulato e questo è dimostrato dall'uso limitato che ne ha fatto nelle dimostrazioni dei teoremi della sua geometria. Negli oltre duemila anni successivi alla diffusione degli Elementi di Euclide, molti sono stati i tentativi di dimostrare il V postulato o di riformularlo o, addirittura, di sostituirlo con altri equivalenti. Tuttavia tali tentativi sono falliti in quanto i ragionamenti riconducevano sempre all'uso del V postulato.

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